PDF-версии: 
Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости ABC, 
Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку C и середину ребра AB, а другая — через точку B, имеют равные площади.
а) Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости сечений.
б) Найти расстояние между секущими плоскостями.
Решение. Пусть M — середина AB, а K — такая точка в плоскости основания, что
тогда вторая плоскость проходит через точку K. Значит, единственные ребра пирамиды, которые она может пересечь — это SA и SC (BK явно пересекает продолжение CA, а остальные ребра плоскость пересекает в точке B). Плоскость, содержащая CM, пересекает либо SA, либо SB (второй вариант невозможен, тогда вторая плоскость даст сечение из одной точки). Поскольку плоскости параллельны, они образуют равные углы с плоскостью основания пирамиды, Значит, площади проекций сечений на плоскость основания должны быть равны. Проекцией первого сечения будет треугольник AMC, имеющий площадь, равную половине площади основания. Проекцией второго сечения будет треугольник BAT, где T — проекция точки пересечения плоскости сечения с ребром SC на ребро AC. Значит, T должна оказаться серединой AC, поэтому второе сечение проходит через середину CS (точку N).
Пусть O — середина SM. Тогда прямая NO параллельна прямой CM как средняя линия треугольника SCM. Значит, O лежит во второй плоскости. Продлим BO до пересечения с SA в точке Q. Далее, BQN — искомое сечение второй плоскостью. Проведем теперь через M прямую, параллельную BQ, и обозначим за P ее пересечение с отрезком SA (очевидно P — середина AQ). Тога сечение первой плоскостью это MPC.
По теореме Менелая для треугольника ASM и прямой QOB имеем: 
откуда 
Значит, точки P и Q делят AS на три равные части.
а) Имеем:
Между плоскостями находится остальная часть объема, то есть 
б) Поскольку P — середина отрезка AQ, имеем:
Найдем стороны треугольника PMC, а затем его площадь. Имеем:
Итак, треугольник равносторонний, поэтому его площадь равна 
Наконец, искомое расстояние равно 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
б) б)