РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 527269 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, ... , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А  — шестое по величине среди этих чисел, а В  — среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.

а)  Может ли В − А равняться $дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 11?$

б)  Может ли В − А равняться $дробь: числитель: 4, знаменатель: конец дроби 11?$

в)  Найдите наибольшее возможное значение В − А.

Решение. а)  Если $A минус дробь: числитель: S, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 11 конец дроби ,$ то $S минус 3=11A,$ где S  — сумма чисел в множестве. Поскольку это сумма одиннадцати нечетных чисел, то S нечетно, поэтому $S минус 3$ четно, а $11A$   — нечетно. Противоречие.

б)  Здесь имеем аналогично $11A=S минус 4.$ Это возможно, например, для чисел 1, 3, 5, ..., 19, 25. Тогда $A=11$ и $S=125.$

в)  Если последние числа  — еще не максимально возможные  — увеличим их до максимально возможных(от этого B увеличится). Если какие-то из наименьших чисел не максимально возможные (то есть $A минус 2, A минус 4,\ldots$   — поступим аналогично. Итак, самый хороший пример обязательно выглядит так: $A минус 10,$ $A минус 8,$ $A минус 6,$ $A минус 4,$ $A минус 2,$ A, 43, 45, 47, 49, 51. Осталось выбрать наилучшее A. Имеем:

$B минус A= дробь: числитель: A минус 10 плюс A минус 8 плюс A минус 6A минус 4 плюс A минус 2 плюс A плюс 43 плюс 45 плюс 47 плюс 49 плюс 51, знаменатель: 11 конец дроби минус A= дробь: числитель: 205 минус 5A, знаменатель: 11 конец дроби ,$ $B минус A= дробь: числитель: A минус 10 плюс A минус 8 плюс A минус 6A минус 4 плюс A минус 2 плюс A плюс 43 плюс 45 плюс 47 плюс 49 плюс 51, знаменатель: 11 конец дроби минус A=$
$= дробь: числитель: 205 минус 5A, знаменатель: 11 конец дроби ,$ $B минус A=$
$= дробь: числитель: A минус 10 плюс A минус 8 плюс A минус 6A минус 4 плюс A минус 2 плюс A плюс 43 плюс 45 плюс 47 плюс 49 плюс 51, знаменатель: 11 конец дроби минус A=$
$= дробь: числитель: 205 минус 5A, знаменатель: 11 конец дроби ,$

поэтому выгодно брать A поменьше. Значит, $A=11,$ меньшее число не может быть шестым по величине. Поэтому наибольшее значение будет $дробь: числитель: 150, знаменатель: 11 конец дроби .$

Ответ: а) нет; б) да; в) $дробь: числитель: 150, знаменатель: 11 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) нет; б) да; в) $дробь: числитель: 150, знаменатель: 11 конец дроби .$

527269

а) нет; б) да; в) $дробь: числитель: 150, знаменатель: 11 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527269	а) нет; б) да; в) $дробь: числитель: 150, знаменатель: 11 конец дроби .$