Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 527265
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та \leqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x. После пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­чим:

t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию x 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1.

За­ме­тим, что при от­ри­ца­тель­ных t не­ра­вен­ство верно. При по­ло­жи­тель­ных по­лу­ча­ем:

t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби t в квад­ра­те минус t конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби t в квад­ра­те минус t мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно t в квад­ра­те минус 2t мень­ше или равно 2 рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 3 рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно |t минус 1| мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

При t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка пер­вое не­ра­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся. При t боль­ше или равно 1 на­хо­дим

1 мень­ше или равно t минус 1 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 мень­ше или равно t мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1.

Итак, t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Пе­рейдём

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 4;2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Ответ: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 4;2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 249
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Мо­дуль числа, мо­дуль вы­ра­же­ния, Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025