РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527265 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Модуль числа, модуль выражения, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента \leqslant1.$

Решение. Обозначим $t= логарифм по основанию 2 x.$ После преобразований получим:

$t корень из: начало аргумента: логарифм по основанию x корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус логарифм по основанию x 2 конец аргумента меньше или равно 1 равносильно t корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби конец аргумента меньше или равно 1.$

Заметим, что при отрицательных t неравенство верно. При положительных получаем:

$t корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби конец аргумента меньше или равно 1 равносильно корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате минус t конец аргумента меньше или равно 1 равносильно 0 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате минус t меньше или равно 1 равносильно$

$равносильно 0 меньше или равно t в квадрате минус 2t меньше или равно 2 равносильно 1 меньше или равно левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 3 равносильно 1 меньше или равно |t минус 1| меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

При $t принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка$ первое неравенство не выполняется. При $t больше или равно 1$ находим

$1 меньше или равно t минус 1 меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно 2 меньше или равно t меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1.$

Итак, $t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая квадратная скобка .$ Перейдём

$логарифм по основанию 2 x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая квадратная скобка равносильно x принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527265

$x принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527265	$x принадлежит левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка правая квадратная скобка .$