РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527248 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 247

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12x конец дроби больше 2 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка x.$

Решение. Сразу отметим, что $x больше 0,$ $x не равно 1,$ $x не равно 11.$ Обозначим $t= логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби ,$ тогда неравенство примет вид:

$t минус 1 больше дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t минус 2, знаменатель: t конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби больше 0.$

C помощью метода интервалов получим $t принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка .$ Если $t принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка ,$ мы получаем систему неравенств, которую решим, рационализируя их. Имеем:

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше 0, новая строка логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби больше минус 1 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби больше минус 1 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12 плюс логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно$ $левая фигурная скобка \beginaligned новая строка логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби меньше 0, новая строка логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби больше минус 1 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби больше минус 1 \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12 плюс логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно$

$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: x плюс 1 минус 12, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 12, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: x минус 11, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно$ $равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно$
$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: x плюс 1 минус 12, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 12, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка дробь: числитель: x минус 11, знаменатель: x минус 1 конец дроби меньше 0, новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 \endaligned. равносильно$

$равносильно левая фигурная скобка \beginaligned новая строка x принадлежит левая круглая скобка 1;11 правая круглая скобка , новая строка x принадлежит левая круглая скобка минус 4;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка \endaligned. равносильно x принадлежит левая круглая скобка 3;11 правая круглая скобка .$

Если же $t больше 2,$ то нужно решить рационализацией лишь одно неравенство:

$логарифм по основанию x дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби больше 2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: 12 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби больше 2 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби больше 2 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12 минус 2 логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 12x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 равносильно$ $равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 12 минус 2 логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 12x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x плюс 1 минус 12x в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$ $равносильно дробь: числитель: x плюс 1 минус 12x в квадрате , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 1 минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 4x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Первый промежуток не подходит в условие $x больше 0.$ Окончательно: $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;11 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;11 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527248

$x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;11 правая круглая скобка .$