PDF-версии: 
При каких значениях параметра a, при которых система
имеет ровно два решения.
Решение. Первое уравнение можно записать в виде
то есть 
При этом нужно, чтобы выполнялось условие 
(иначе логарифм не определен). Выражение 
получится положительным автоматически, поскольку при интересующих нас 
просто отличается от 
в восемь раз. Итак, 
Подставляя выражение для y во второе уравнение, получим:
Значит, во-первых 
а во-вторых 
Достаточно чтобы 
то есть 
При 
это точно неверно, а при 
можно возвести в квадрат, поскольку обе части неравенства положительны. Имеем:
Учитывая условия и 
получаем окончательно 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |