Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 527217

а) Решите уравнение  корень из { 4 плюс 3 косинус x минус косинус 2x}= корень из { 6} синус x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Возведем уравнение в квадрат, учитывая что  синус x больше или равно 0.

4 плюс 3 косинус x минус косинус 2x=6 синус в степени 2 x равносильно 4 плюс 3 косинус x минус (2 косинус в степени 2 x минус 1)=6(1 минус косинус в степени 2 x).

Сделаем замену t= косинус x. Имеем:

4 плюс 3t минус (2t в степени 2 минус 1)=6(1 минус t в степени 2 ) равносильно 4 плюс 3t минус 2t в степени 2 плюс 1=6 минус 6t в степени 2 ) равносильно

 равносильно 4t в степени 2 плюс 3t минус 1=0 равносильно (t плюс 1)(4t минус 1)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . конец совокупности .

В первом случае x= Пи плюс 2 Пи k,  синус x=0 — подходит.

Во втором случае x=\pm\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 плюс 2 Пи k, подходит только x=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 плюс 2 Пи k, у второго набора синус отрицательный.

б) Из первого набора подходит  минус 3 Пи . Из второго не подходит ничего, поскольку

\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 минус 4 Пи меньше минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 меньше минус 2 Пи меньше \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 минус 2 Пи .

 

Ответ а) \left\{ Пи плюс 2 Пи k;\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \}; б)  минус 3 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б.

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 245.
Методы алгебры: Введение замены, Формулы двойного угла
Классификатор базовой части: 2.1.3 Иррациональные уравнения, 2.1.4 Тригонометрические уравнения