РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

а)  Может ли в последовательности быть три члена?

б)  Может ли в последовательности быть четыре члена?

в)  Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?

Решение. а)  Средний из трех членов арифметической прогрессии есть среднее арифметическое крайних, а геометрической  — среднее геометрическое. Но $дробь: числитель: 1 плюс 2046, знаменатель: 2 конец дроби$ и $корень из: начало аргумента: 1 умножить на 2046 конец аргумента$ не являются целыми.

б)  Возможны четыре случая, какую прогрессию образуют первые три и последние три члена.

Если обе прогрессии арифметические, то это просто четырехчленная арифметическая прогрессия с разностью $дробь: числитель: 2046 минус 1, знаменатель: 3 конец дроби \not принадлежит Z .$ Все ее члены не могут быть целыми.

Если обе прогрессии геометрические, то это просто четырехчленная геометрическая прогрессия со знаменателем $корень 3 степени из: начало аргумента: 2046 конец аргумента \not принадлежит Z .$ Все ее члены не могут быть целыми.

Если первые три числа образуют арифметическую прогрессию, а последние три геометрическую, то первые три можно обозначить за 1, $1 плюс d,$ $1 плюс 2d$ и из свойства геометрической прогрессии получить $2046 левая круглая скобка 1 плюс d правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс 2d правая круглая скобка в квадрате ,$ то есть $4d в квадрате минус 2042d минус 2045=0.$ Дискриминант этого уравнения равен

$2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2045=2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2042 плюс 64 плюс 16= левая круглая скобка 2042 плюс 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16=2050 в квадрате плюс 16 меньше 2051 в квадрате$ $2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2045=2042 в квадрате плюс 16 умножить на 2042 плюс 64 плюс 16=$
$= левая круглая скобка 2042 плюс 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16=2050 в квадрате плюс 16 меньше 2051 в квадрате$

и не является точным квадратом, поэтому его корни иррациональны.

Аналогично, если первые три числа дают геометрическую прогрессию и равны 1, q, $q в квадрате ,$ то мы получаем уравнение $q плюс 2046=2q в квадрате ,$ $2q в квадрате минус q минус 2046=0,$ его дискриминант равен

$1 плюс 8 умножить на 2046=16369=128 в квадрате минус 15 больше 127 в квадрате$

и не является точным квадратом, поэтому его корни иррациональны.

в)  Да, например 1,2,4,6, ... ,2046. Здесь первые три числа дают геометрическую прогрессию, а все остальные  — арифметическую.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527199	а) нет; б) нет; в) да.

Ключ