PDF-версии: 
Точка M пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K — середина стороны BC.
б) Найдите длину AK, если 
Решение. а) Имеем:
(вертикальные углы, опирающиеся на одну дугу, соответственные), поэтому треугольники подобны по двум углам, угол K у них общий.
б) Пусть 
тогда 
поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 
Из подобия треугольников AKB и BKM получаем: 
то есть 
откуда 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |