РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527193 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 косинус x минус 5, знаменатель: 2 косинус x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 косинус в квадрате x минус косинус x конец дроби =2.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Обозначим $t= косинус x$ и преобразуем уравнение:

$дробь: числитель: 4t минус 5, знаменатель: 2t минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка конец дроби =2 равносильно дробь: числитель: 4t в квадрате минус 5t плюс 1, знаменатель: t левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка конец дроби =2 равносильно$

$равносильно 4t в квадрате минус 5t плюс 1=4t в квадрате минус 2t равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Поскольку $t не равно 0,$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$   — это действительно корень. Имеем $косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $x=\pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k.$

б)  Поскольку $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ имеем:

$минус 4 Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус 4 Пи меньше минус 4 Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус 2 Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Следовательно, на указанном промежутке лежит $минус 4 Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 4 Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527193

а) $левая фигурная скобка \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 4 Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527193	а) $левая фигурная скобка \pm арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 4 Пи плюс арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$