Ре­ше­ние. а)  Пусть точка H  — се­ре­ди­на ребра BC, а плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра SB и АС в точ­ках L и N со­от­вет­ствен­но. Тогда ме­ди­а­ны АН и SH тре­уголь­ни­ков ABC и SBC со­от­вет­ствен­но яв­ля­ют­ся их вы­со­та­ми, а зна­чит, плос­кость ASH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая SA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

По­сколь­ку пря­мая SA па­рал­лель­на плос­ко­сти α, пря­мые KL и MN па­рал­лель­ны пря­мой SA, а зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, пря­мые LM и KN па­рал­лель­ны пря­мой BC.

Таким об­ра­зом, KLMN яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, пары про­ти­во­по­лож­ных сто­рон ко­то­ро­го па­рал­лель­ны пер­пен­ди­ку­ляр­ным пря­мым SA и BC со­от­вет­ствен­но, то есть KLMN  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Пря­мая BC, па­рал­лель­ная пря­мой KN, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASH, зна­чит, плос­ко­сти ASH и α пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Пусть плос­кость ASH пе­ре­се­ка­ет пря­мые KN и LM в точ­ках E и F со­от­вет­ствен­но. Тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды AKLMN равна рас­сто­я­нию h между пря­мы­ми SA и EF.

Вы­со­та SO пи­ра­ми­ды SABC лежит в плос­ко­сти ASH, AO :  OH  =  2 : 1, от­ку­да

Объём пи­ра­ми­ды AKLMN равен

Ответ: б)