PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет ровно четыре корня.
Решение. Сразу заметим, что 
Разделим уравнение на 
и обозначим 
Имеем:
Заметим, что уравнение 
равносильно уравнению 
и потому имеет один корень при 
два корня при 
(то есть при 
один корень при 
и не имеет корней при прочих 
Кроме того, корни таких уравнений при разных t совпадать не могут. Поэтому 
корня у изначального уравнения могут быть в следующих ситуациях.
1. 
и два из них совпадают. Первые совпадают при 
(тогда третий равен нулю), последние при 
(и все в порядке), первый с последним при 
(и все в порядке). Начиная с этого момента совпадение корней невозможно, эти случаи разобраны.
2. Из чисел 
ровно одно дает 
корней, а остальные по 
Первое точно дает Второе дает 
при 
и не дает корней при 
Третье дает при 
и при 
Значит, нам подходит промежуток 
3. Из чисел одно дает два корня (это первое, разумеется), а остальные по одному. Для этого они должны быть в множестве 
Это получается при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |