РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 526935 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

Дано уравнение $тангенс 2x плюс \ctg x=8 косинус в квадрате x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. Перепишем уравнение в виде

$дробь: числитель: синус 2x, знаменатель: косинус 2x конец дроби плюс дробь: числитель: косинус x, знаменатель: синус x конец дроби =8 косинус в квадрате x.$

Будем помнить, что $косинус 2x не равно 0,$ $синус x не равно 0,$ то есть $x не равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,$ $x не равно Пи k.$ Имеем:

$синус 2x синус x плюс косинус 2x косинус x=8 косинус в квадрате x синус x косинус 2x равносильно$

$равносильно косинус левая круглая скобка 2x минус x правая круглая скобка =8 косинус в квадрате x синус x косинус 2x равносильно косинус x=8 косинус в квадрате x синус x косинус 2x.$

Либо $косинус x=0,$ $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,$ такие числа подходят. Либо поделим на $косинус x:$

$1=8 синус x косинус x косинус 2x равносильно 1=4 синус 2x косинус 2x равносильно 1=2 синус 4x.$

Значит, $синус 4x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $4x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ поэтому $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби .$ Все они при приведении к общему знаменателю будут иметь знаменатель кратный $3,$ поэтому не совпадут с запрещенными значениями.

Из самой первой серии подходит $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Для удобства отбора из остальных домножим все на 4. Тогда нужно обирать так, чтобы $4x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $4x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k$ лежали на $левая квадратная скобка 11 Пи ;16 Пи правая квадратная скобка .$ Очевидно можно взять $k=6$ или $7$ для обеих серий, а другие нельзя.

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 73 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 85 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 89 Пи , знаменатель: 24 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

526935

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 73 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 85 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 89 Пи , знаменатель: 24 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526935	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 24 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 73 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 77 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 85 Пи , знаменатель: 24 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 89 Пи , знаменатель: 24 конец дроби .$