PDF-версии: 
Известно, что a, b, c, d — попарно различные натуральные числа, большие 1.
а) Может ли выполняться равенство 
?
б) Может ли выполняться равенство 
?
в) Найдите наименьшее и наибольшее значение суммы 
если известно, что 
Решение. а) Да, 
б) Если сумма дробей равна 
то у одной из них знаменатель кратен 
Тогда она не больше 
а остальные вместе не больше 
поэтому общая сумма не больше 
в) Самые большие дроби дадут:
Значит, это и есть самое большое значение.
Если не взять 
то наибольшая сумма будет: 
Значит, 
в сумме есть.
Если не взять 
то наибольшая сумма будет: 
Значит, 
в сумме есть.
Если не взять 
то наибольшая сумма будет: 
Значит, 
в сумме есть.
Тогда сумма этих трех дробей равна 
и мы получаем неравенство:
Поэтому минимальная сумма составит: 
Ответ: а) да; б) нет; в) 
и 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и и