РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 526928 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

Дано уравнение $корень из: начало аргумента: 0,5 плюс синус в квадрате x конец аргумента плюс косинус 2x=1.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Перепишем уравнение в виде

$корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус в квадрате x конец аргумента =1 минус косинус 2x.$

Обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат. Имеем:

$0,5 плюс синус в квадрате x=1 минус 2 косинус 2x плюс косинус в квадрате 2x равносильно 1 плюс 2 синус в квадрате x=2 минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно$ $0,5 плюс синус в квадрате x=1 минус 2 косинус 2x плюс косинус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно 1 плюс 2 синус в квадрате x=2 минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате x минус 1= минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно минус косинус 2x= минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно$ $равносильно 2 синус в квадрате x минус 1= минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно минус косинус 2x= минус 4 косинус 2x плюс 2 косинус в квадрате 2x равносильно$

$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 3 минус 2 косинус 2x правая круглая скобка =0.$

Второй множитель не может быть равен нулю. Тогда:

$косинус 2x=0 равносильно 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби .$

б)  C помощью тригонометрического круга отберем корни. Подходят $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

526928

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 199

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526928	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$