РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 525458 Добавить в вариант

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 2

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Настя добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 80 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.

а)  Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 70 км/ч?

б)  Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?

в)  Какое наибольшее целое число километров в час могла составлять ее средняя скорость за эти две поездки?

Решение. Пусть скорость Насти на обратном пути составила x км/ч, а путь от дома до института составляет S км. Тогда средняя скорость Насти будет равна $V_ср= дробь: числитель: 2S, знаменатель: дробь: числитель: S, знаменатель: 80 конец дроби плюс дробь: числитель: S, знаменатель: x конец дроби конец дроби ;V_ср= дробь: числитель: 160x, знаменатель: x плюс 80 конец дроби$ км/ч.

а)  Нет, не могла. Пусть средняя скорость составила 70 км/ч. Тогда

$дробь: числитель: 160x, знаменатель: x плюс 80 конец дроби =70 равносильно 160x=70x плюс 5600 равносильно 90x=5600 равносильно x= дробь: числитель: 560, знаменатель: 9 конец дроби ,$

что противоречит целочисленности x.

б)  Да, могла. Если $x=20$ км/ч, то $V_ср= дробь: числитель: 160 умножить на 20, знаменатель: 100 конец дроби ;V_ср=32$ км/ч.

в)  Чем больше x, тем больше средняя скорость. Так как $дробь: числитель: 160x, знаменатель: x плюс 80 конец дроби$   — целое, то $160x$ кратно $левая круглая скобка x плюс 80 правая круглая скобка .$ Но $160 левая круглая скобка x плюс 80 правая круглая скобка$ кратно $левая круглая скобка x плюс 80 правая круглая скобка ,$ значит, 12800 кратно $левая круглая скобка x плюс 80 правая круглая скобка .$ Так как $12800=2 в степени 9 умножить на 5 в квадрате ,$ то $x плюс 80=2 в степени k умножить на 5 в степени m ,$ где $k\leqslant9,m\leqslant2.$ При этом, так как $x принадлежит левая круглая скобка 0;80 правая круглая скобка ,$ то $левая круглая скобка x плюс 80 правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка 80;160 правая круглая скобка .$ (*)

1)   $m=0.$ Тогда $x плюс 80=2 в степени k .$ Данное выражение находится в интервале $левая круглая скобка 80;160 правая круглая скобка$ только при $k = 7,$ то есть $x=48.$

2)   $m=1.$ Тогда $x плюс 80=5 умножить на 2 в степени k .$ Данное выражение не находится в интервале $левая круглая скобка 80;160 правая круглая скобка$ ни при каких k.

3)   $m=2.$ Тогда $x плюс 80=25 умножить на 2 в степени k .$ Данное выражение находится в интервале $левая круглая скобка 80;160 правая круглая скобка$ только при $k = 2,$ то есть $x=20.$

Таким образом, наибольшее значение средней скорости достигается при $x=48$ км/ч, а тогда средняя скорость равна: $V_ср= дробь: числитель: 160 умножить на 48, знаменатель: 128 конец дроби =60$ км/ч.

Ответ: а) нет, б) да, в) 60 км/ч.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) нет, б) да, в) 60 км/ч.

525458

а) нет, б) да, в) 60 км/ч.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 19.03.2019. Вариант 2

Классификатор алгебры: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	525458	а) нет, б) да, в) 60 км/ч.