ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 525140 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant1.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $2 в степени x =t,$ тогда неравенство примет вид $дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant1.$ Решим это неравенство методом интервалов:

$дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20 минус t плюс 32, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 7t плюс 12, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 32,3 меньше или равно t\leqslant4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 6t минус 20 минус t плюс 32, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 7t плюс 12, знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 32,3 меньше или равно t\leqslant4. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$совокупность выражений 2 в степени x больше 32,3\leqslant2 в степени x \leqslant4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 5, логарифм по основанию 2 3 меньше или равно x\leqslant2. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка логарифм по основанию 2 3;2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведём решение методом рационализации.

Выполним преобразования:

$дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби минус дробь: числитель: 2 в степени x минус 32, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 12, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$ $дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби минус дробь: числитель: 2 в степени x минус 32, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 12, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$ $дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 6 умножить на 2 в степени x минус 20, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби минус дробь: числитель: 2 в степени x минус 32, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 12, знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 32 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 в степени 5 конец дроби \geqslant0.$

Поскольку показательная функция с основанием, большим 1, является монотонно возрастающей, можно заменить каждую скобку выражением того же знака:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 в степени 5 конец дроби \geqslant0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 5 конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 3 меньше или равно x\leqslant2,x больше 5. конец совокупности .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x минус 2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 в степени 5 конец дроби \geqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 5 конец дроби \geqslant0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 3 меньше или равно x\leqslant2,x больше 5. конец совокупности .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 525119: 525140 Все

Источники:

Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 2;

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь