Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 524051

Дан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB. Построено сечение цилиндра плоскостью ABNM, перпендикулярной прямой CD, причём точка C и центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD, лежат по одну сторону от плоскости сечения.

а) Докажите, что диагонали четырёхугольника ABNM равны.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Решение.

а) Плоскость сечения ABNM перпендикулярна прямой CD, поэтому отрезки AM и BN являются образующими цилиндра. Следовательно, отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна 9 умножить на 2=18. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD, O — центр основания цилиндра, содержащего отрезок CD. Отрезок OH равен  корень из { 2 в степени 2 минус 1 в степени 2 }= корень из { 3}. Высота CH пирамиды CABNM равна 2 плюс корень из { 3}. Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 18 умножить на (2 плюс корень из { 3})=12 плюс 6 корень из { 3}.

Ответ: б) 12 плюс 6 корень из { 3}.


Аналоги к заданию № 514026: 514045 517181 517219 524051 524073 Все