Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 523405

Найдите все значения a, при которых система

 система выражений y=(a плюс 2)x в степени 2 минус (2a плюс 1)x плюс a минус 3,x=(a плюс 2)y в степени 2 минус (2a плюс 1)y плюс a минус 3 конец системы .

имеет ровно одно решение.

Решение.

Система не изменится, если поменять x и y местами. Следовательно, система имеет единственное решение, только если x=y. Получаем уравнение:

(a плюс 2)x в степени 2 минус (2a плюс 2)x плюс a минус 3=0

Это уравнение должно иметь единственный корень.

Если a не равно минус 2, то уравнение квадратное, значит его дискриминант должен равняться нулю:

(2a плюс 2) в степени 2 минус 4(a плюс 2)(a минус 3)=0 равносильно 3a плюс 7=0, откуда a= минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 3 .

При a= минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 3 получаем x в степени 2 минус 8x плюс 16=0, откуда x=4. решением системы является пара (4;4).

Если a= минус 2, получается линейное уравнение 2x минус 5=0, которое имеет единственное решение x=2,5. Решением системы является пара (2,5;2,5).

Покажем, что в этих случаях нет иных решений, где x не равно y. Вычтем второе уравнение системы из первого и разделим полученное уравнение почленно на x минус y не равно 0:

 минус 1=(a плюс 2)(x плюс y) минус (2a плюс 1).

При a= минус 2 получается, что a=0. Решений нет.

При a= минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 3 получаем y=14 минус x. Подставим это выражение в первое уравнение системы:

14 минус x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 x в степени 2 плюс дробь, числитель — 11, знаменатель — 3 x минус дробь, числитель — 16, знаменатель — 3 равносильно x в степени 2 минус 14x плюс 58=0.

Полученное уравнение не имеет корней.

 

Ответ:  минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 3 ; минус 2.


Аналоги к заданию № 523380: 523405 Все

Методы геометрии: Симметрия в решениях