PDF-версии: 
В трапецию ABCD c основаниями ВС и AD вписана окружность с центром О, СН — высота трапеции, Е — точка пересечения диагоналей.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь четырехугольника СЕОН, если известно, что 
BC = 9, AD = 18.
Решение. а) Поскольку точка O равноудалена от всех сторон трапеции, CO и DO — биссектрисы ее углов, поэтому 
откуда следует, что 
лежат на одной окружности. Но тогда 
б) Обозначим радиус окружности за r, тогда 
По свойству описанного четырехугольника 
По теореме Пифагора для треугольника CHD находим 
откуда 
Далее, треугольники BEC и DEA подобны с коэффициентом 
Поэтому если спроецировать точку E на прямую AD (назовем проекцию точкой T), расстояние от проекции до A составит 
Но для точки O это тоже верно, поскольку радиус окружности равен Значит, 
Ответ: б) 21.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |