PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a при каждом из которых система
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Обозначим 
Тогда каждому неотрицательному решению системы
соответствуют либо четыре, либо два, либо одно решение. Если z или t равны нулю, то два, а если оба — то одно.
Заметим далее, что если 
и они не равны нулю, то можно еще поменять местами z и t и получить 8 решений.
Значит либо одно из них равно нулю, тогда другое единице и 
либо они равны друг другу (и тогда равны 
) и 
Осталось убедиться, что в этих случаях других неотрицательных решений система не имеет.
При 
имеем
Очевидно есть решения 
и 
дающие по два решения системы. Других нет, поскольку возводя первое уравнение в четвертую степень и вычитая второе, находим 
что для неотрицательных чисел возможно только при 
При 
имеем
Очевидно есть решение 
дающее четыре решения системы. Других нет, поскольку выразив из первого уравнения z и подставив во второе, получим
Первая скобка имеет корень 
а вторая корней не имеет.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |