PDF-версии: 
i
Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.
а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.
б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.
середину дуги CB, тогда 
Опустим перпендикуляр KH на AC и отметим на AC точку 
так, что 
Тогда в треугольнике CKE высота совпадает с медианой и 
Значит, у треугольников 
и ABK равны две стороны и угол не между ними. Такие треугольники могут быть равны или иметь углы, составляющие в сумме 
Второе невозможно, поскольку 
Значит, треугольники равны, то есть 
поэтому построенная таким образом точка совпадает с точкой E, перпендикуляр- с перпендикуляром из задачи и точка 
откуда 
По формуле для биссектрисы имеем 
По теореме о пересекающихся хордах 
Значит, 
откуда 
