РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 521660 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 222

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники

Источник/автор: (также) ДВИ МГУ, механико-математический факультет, 1984

Сложная планиметрия. Треугольники

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий катет АС. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.

а)  Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов

б)  Найдите площадь треугольника АВС.

Решение. а)  Описанная окружность треугольника ABC имеет точку D своим центром, поэтому E тоже лежит на этой окружности. По условию и теореме о вписанном угле имеем $\angle ECA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle EDA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ что и требовалось доказать.

б)  Поскольку дуга CE является частью дуги CA меньшей $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ то стягивающая ее хорда меньше хорды $CA.$ Значит, $CE=CB=1,$ при этом дуга CE равна четверти окружности. Значит, хорда длины $1$ стягивает дугу $45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ откуда $\angle BAC=22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $AC=\ctg 22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и площадь треугольника равна $дробь: числитель: \ctg 22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: $дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .$

521660

$дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 222

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521660	$дробь: числитель: 1 плюс корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби .$