Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим ребро куба, ле­жа­щее в грани SBC. Верх­няя грань куба па­рал­лель­на ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, по­это­му пе­ре­се­ка­ет грань SBC по пря­мой, па­рал­лель­ной BC. Зна­чит, и ребро куба, со­еди­ня­ю­щее вер­ши­ны, при­над­ле­жа­щие гра­ням SAB (обо­зна­чим M) и SAC (обо­зна­чим N) па­рал­лель­на BC. Плос­кость же ASD пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, так как пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC и пря­мая SD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC. Зна­чит, плос­кость ASD пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN, а вме­сте с ним (по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти плос­ко­стей) и плос­ко­сти SMN.

б)  Пусть вы­со­та пи­ра­ми­ды равна x. Тогда и пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна:

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен:

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, со­дер­жа­щей верх­нюю грань куба. Это пра­виль­ный тре­уголь­ник, в ко­то­рый впи­сан квад­рат так, что одна сто­ро­на квад­ра­та лежит на сто­ро­не тре­уголь­ни­ка, а две дру­гие его вер­ши­ны лежат на дру­гих сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что ребро куба равно 1. Тогда сто­ро­на этого тре­уголь­ни­ка равна:

Те­перь можно за­ме­тить, что плос­кость, со­дер­жа­щая верх­нюю грань куба от­сек­ла от нашей пи­ра­ми­ды по­доб­ную пи­ра­ми­ду с вы­со­той За­пи­шем от­но­ше­ние по­до­бия:

Решая это урав­не­ние, по­лу­чим, что

Те­перь можно вы­чис­лить от­но­ше­ние объ­е­мов пи­ра­ми­ды и куба. Оно равно:

Ответ: