РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 521543 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 218

Методы геометрии: Метод объемов

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная призма, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Угол между прямыми

Сложная стереометрия. Многогранники

Основание и высота правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равны AB=6, AA₁=4.

а)  Найдите угол между прямыми A₁B и B₁C.

б)  Найдите расстояние между прямыми A₁B и B₁C.

Решение. Пусть T  — середина $A_1C_1,$ O  — середина $B_1C$ (и $BC_1$ ). Тогда $A_1B\parallel TO,$ поскольку TO  — средняя линия $A_1BC_1.$ Поэтому $\angle левая круглая скобка A_1B;B_1C правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка TO,B_1O правая круглая скобка =\angle B_1OT.$ Найдем его из теоремы косинусов.

$B_1T= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби A_1C_1=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $B_1O= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби B_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента ,$ $TO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A_1B= корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента$

$27=13 плюс 13 минус 2 умножить на корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента в квадрате косинус альфа ,$ откуда $\angle левая круглая скобка A_1B;B_1C правая круглая скобка = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 26 конец дроби$ (в треугольнике получается тупой угол, но угол между прямыми должен быть острым).

б)   $V_A_1BB_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка C,A_1B_1B правая круглая скобка умножить на S_A_1B_1B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 12=12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

C другой стороны,

$V_A_1BB_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на A_1B умножить на B_1C умножить на d левая круглая скобка A_1B,B_1C правая круглая скобка умножить на синус \angle левая круглая скобка A_1B;B_1C правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби умножить на 2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента умножить на 2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента умножить на d левая круглая скобка A_1B,B_1C правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 15 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби =d левая круглая скобка A_1B,B_1C правая круглая скобка умножить на 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

поэтому искомое растояние равно $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: а) $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 26 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

521543

а) $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 26 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 218

Методы геометрии: Метод объемов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521543	а) $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 26 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$