PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.
а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.
б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.
Решение. а) Пусть в 
и 
— прямоугольные с общим острым углом 
б) По свойству секущей и касательной 
и 
откуда
Треугольники KMC и АВС подобны: действительно, угол C у них общий, далее, 
а тогда 
наконец, углы MEF и MKC равны как вписанные, опирающиеся на дугу MF. Тогда 
а это соответственные углы при прямых EF и AB, которые пересекает секущая AC. Тем самым, данные прямые параллельны, и 
Подставляя полученное соотношение в равенство (1), находим:
Далее, 
и 
— прямоугольные, 
Полагая PN = x, получаем:
Наконец, 
и 
также прямоугольные, 
Отсюда находим, что
Разделив (3) на (4) получим 
Подставляя (2), получим уравнение 
Его единственным решением является 
Ответ: 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |