Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521334

Дана окружность. Продолжения диаметра АВ и хорды РК пересекаются под углом 30° в точке С. Известно, что СВ : АВ = 1 : 4; АК пересекает ВР в точке Т.

 

а) Докажите, что АР : АТ = 3 : 4.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, Р и К, если радиус окружности равен 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть CB=x, R=2x Запишем тогда теорему косинусов для треугольников OCK и OCP.

OC в квадрате =4x в квадрате =9x в квадрате плюс KC в квадрате минус 2KC умножить на 3x умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно

 

 равносильно KC в квадрате минус 3x корень из 3 KC плюс 5x в квадрате =0 равносильно KC= дробь: числитель: 3 корень из 3\pm корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби .

Аналогично PC= дробь: числитель: 3 корень из 3\pm корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби x при этом PC > KC.

Следовательно PK=PC минус KC= корень из 7x, а поскольку PK=2R умножить на синус \angle PAK, находим  синус \angle PAK= дробь: числитель: корень из 7, знаменатель: 4 конец дроби ,  косинус \angle PAK= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =AP:AT, поскольку \angle APT=\angle APB=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .

 

б) По условию x = 2:

S_ABPK=S_PCA минус S_CBK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка левая круглая скобка CA умножить на CP минус CK умножить на CB правая круглая скобка =

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 10 умножить на левая круглая скобка 3 корень из 3 плюс корень из 7 правая круглая скобка минус 2 умножить на левая круглая скобка 3 корень из 3 минус корень из 7 правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 24 корень из 3 плюс 12 корень из 7 правая круглая скобка =6 корень из 3 плюс 3 корень из 7.

 

Ответ: б) 6 корень из 3 плюс 3 корень из 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 201.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Окружности