PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ = 12.
Решение. а) Пусть точка T на отрезке B1D1 такова, что B1T : TD1 = 3 : 1, тогда MT || BD1 и точка T лежит в плоскости β. Обозначим за K точку пересечения C1T и A1B1. Опустим из точки T перпендикуляр TQ на A1B1. Тогда треугольники KTQ и KC1B1 будут подобны с коэффициентом
откуда
и KA1 = 2A1B1.
Обозначим за K1 точку пересечения KM и 
Опустим из точки M перпендикуляр MM1 на AA1. Тогда треугольники KK1A1 и MM1K1 будут подобны с коэффициентом KA1 : MM1 = 2, откуда
б) Обозначим за
точку пересечения 
и 
Тогда C1T1K1M — искомое сечение являющееся трапецией. Найдем ее стороны.
Проведем в этой трапеции отрезок, параллельный боковой стороне. Она разобьется на параллелограмм и треугольник. Очевидно, площадь отсечённого треугольника составит 
площади трапеции (основание треугольника 15 − 10 = 5 против суммы оснований 25 при одинаковой высоте). Найдем теперь S — площадь отсеченного треугольника со сторонами 
по формуле Герона
Тогда 
откуда площадь сечения 
Ответ:б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |