Ре­ше­ние. а)  Центр сферы лежит на всех би­сек­то­рах дву­гран­ных углов пи­ра­ми­ды. Би­сек­то­ром дву­гран­но­го угла при ребре PC будет плос­кость PCK (оче­вид­но, на­при­мер, что K рав­но­уда­ле­на от бо­ко­вых гра­ней PCA и PCB, а по­то­му лежит на би­сек­то­ре). По­сколь­ку пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PK, пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CK (ме­ди­а­ны рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков яв­ля­ют­ся и вы­со­та­ми), то пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PCK, по­это­му пер­пен­ди­ку­ляр из цен­тра сферы, про­ве­ден­ный к пря­мой PK, пер­пен­ди­ку­ля­рен за­од­но и Зна­чит, он пер­пен­ди­ку­ля­рен всей плос­ко­сти и его ос­но­ва­ние ле­жа­щее на PK  — точка ка­са­ния сферы с гра­нью.

б)  Имеем:

По­сколь­ку все бо­ко­вые ребра равны, вы­со­та пи­ра­ми­ды па­да­ет в центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния, ра­ди­ус ко­то­рой равен:

По­это­му рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти O до AB равно:

Зна­чит, вы­со­та пи­ра­ми­ды может быть най­де­на из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Тогда объем пи­ра­ми­ды равен:

Бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно:

Те­перь вы­чис­лим бо­ко­вую по­верх­ность пи­ра­ми­ды. Пло­ща­ди ниж­ней грани из­вест­на, APB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той его пло­щадь осталь­ные грани  — рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки с ос­но­ва­ни­ем и пло­ща­ди

На­ко­нец,

Ответ: