Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 521247

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4 косинус x минус a умножить на тангенс в квадрате x = 3 плюс a имеет на отрезке  левая квадратная скобка 0; Пи правая квадратная скобка ровно один корень.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем уравнение в виде a= дробь: числитель: 4 косинус x минус 3, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате x конец дроби , то есть a= левая круглая скобка 4 косинус x минус 3 правая круглая скобка косинус в квадрате x, при этом  косинус x принимает все значения от  минус 1 до 1 ровно по одному разу, кроме значения 0 (тогда тангенс не определен). Обозначим t= косинус x, тогда уравнение 4t в кубе минус 3t в квадрате =a должно иметь ровно один корень на множестве  левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка .

Исследуем функцию f левая круглая скобка t правая круглая скобка =4t в кубе минус 3t в квадрате . Ее производная f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =12t в квадрате минус 6t=6t левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка отрицательна при t принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка и положительна при t принадлежит левая квадратная скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 1 правая квадратная скобка Значит, функция возрастает на  левая квадратная скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка от f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 7 до f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0, затем убывает до f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , затем снова возрастает до f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1. Поэтому она принимает один раз такие значения — a принадлежит левая квадратная скобка минус 7; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка . Мы включаем a=0, поскольку уравнение f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0 имеет два корня (t=0, t= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ), но один из них посторонний.

 

Ответ: a принадлежит левая квадратная скобка минус 7; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 193.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром