Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 521237
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 4 = 2|x минус 2y|,x плюс y = a конец си­сте­мы . .

имеет ровно два ре­ше­ния.
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При x боль­ше или равно 2y пер­вое урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те минус 2x плюс 4y минус 4=0, то есть левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =9. Это урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром левая круг­лая скоб­ка 1; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом 3, точ­нее той дуги этой окруж­но­сти, ко­то­рая лежит в по­лу­плос­ко­сти x минус 2y боль­ше или равно 0

При x мень­ше или равно 2y пер­вое урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 2x минус 4y минус 4=0, то есть левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =9. Это урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром левая круг­лая скоб­ка минус 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом 3, точ­нее той дуги этой окруж­но­сти, ко­то­рая лежит в по­лу­плос­ко­сти x минус 2y мень­ше или равно 0.

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет пря­мую, па­рал­лель­ную y= минус x. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны раз­лич­ные по­ло­же­ния пря­мой. Из ри­сун­ка видно, что нам под­хо­дят a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка a_1;a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка a_3;a_4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка a_5;a_6 пра­вая круг­лая скоб­ка . Оста­лось их найти. При этом a пря­мая ка­са­ет­ся ниж­ней окруж­но­сти, то есть рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой пря­мой равно 3. Имеем:

дробь: чис­ли­тель: \abs1 минус 2 минус a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби =3, a= минус 1\pm 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ясно, что a_1= минус 1 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но a_5= минус 1 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

За­ме­тим, что фи­гу­ра сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат (при смене зна­ков у x и y урав­не­ние про­дол­жа­ет вы­пол­нять­ся). Зна­чит, a_6= минус a_1, a_2= минус a_5.

Най­дем те­перь точки пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей с пря­мой x=2y. Под­став­ляя это в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим:

5y в квад­ра­те =4, y=\pm дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пря­мая долж­на прой­ти через точку левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му a= минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Из сим­мет­рии a_4= минус a_3.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 3 ко­рень из 2 минус 1; минус 3 ко­рень из 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из 2 минус 1; 3 ко­рень из 2 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 192
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025