PDF-версии: 
Дан квадрат ABCD. На сторонах АВ и ВС отмечены точки Р и К соответственно, причем ВР : АР = 1 : 3, ВК : СК = 3 : 13.
а) Докажите, что углы РDK и РСК равны.
б) Пусть М — точка пересечения CP и DK. Найдите отношение длин отрезков СM и PM.
Решение. Пусть сторона квадрата имеет длину 16. Введем систему координат с началом в точке B и осями, направленными по BC и
Тогда получим:
Уравнения прямых можно выяснить по общей формуле:
Аналогично 
Вычислим теперь косинусы углов между этими прямыми:
Значит, углы равны.
б) Решим систему уравнений 
Из первого уравнения найдем 
и подставим во второе. Получим: 
откуда 
Тогда
Кроме того, 
поэтому 
Значит, 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |