Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 521209
i

Перед  дро­бя­ми  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рас­став­ле­ны знаки, либо «+», либо «‐». На­при­мер,  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .  Обо­зна­чим по­лу­чен­ное число через S.

а)  Может ли S  =  0,45? 

б)  Может ли S  =  1? 

в)  Найти наи­мень­шее зна­че­ние |S минус 1| при всех воз­мож­ных S.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

\pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \pm 30\pm 20\pm 15\pm 12\pm 10, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби

а)  Да. Имеем:

0,45= дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 30 минус 20 плюс 15 плюс 12 минус 10, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

б)  1= дробь: чис­ли­тель: 60, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби , но по­лу­чить в чис­ли­те­ле сумму 60 нель­зя  — там скла­ды­ва­ют­ся 4 чет­ных числа и одно не­чет­ное, их сумма все­гда не­чет­на.

в)  Нужно, чтобы сумма чисел как можно ближе ока­за­лась к 60. Можно до­бить­ся ва­ри­ан­та

30 минус 20 плюс 15 минус 12 минус 10=3,

он даст  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби . По­нят­но, что сде­лать  дробь: чис­ли­тель: 0, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби или  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби нель­зя из-за чет­но­сти, как в п. б)

Оста­лось объ­яс­нить, по­че­му нель­зя сде­лать 1. Общая сумма чисел 87, если бы было можно, то их можно было бы раз­бить на две груп­пы с сум­ма­ми 43 и 44, одну груп­пу снаб­дить плю­са­ми, а дру­гую ми­ну­са­ми. В груп­пе с сум­мой 43 точно есть 15 из-за чет­но­сти. Тогда сумма осталь­ных чисел там 28. Тогда там нет 30, нет 20 (до­брать 8 нель­зя, все числа боль­ше 8), а 12 плюс 10 мень­ше 28, так что даже взять все осталь­ные числа не по­мо­жет.

 

Ответ: а) да; б) нет; в)  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 188
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства