PDF-версии: 
i
Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, сторона нижнего основания которой в 2 раза больше стороны верхнего основания. Найдите:
а) Площадь боковой грани пирамиды;
б) Минимально возможную площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через диагональ нижнего основания и пересекает верхнее основание пирамиды.
то нижнее 
тогда боковая сторона 
из-за вписанности и высота трапеции 
поэтому 
и 
и высотой 
(боковое ребро предыдущего сечения), поэтому ее площадь: 
в точке 
Тогда проведем прямую MN параллельно прямым 
и AC, точка N тоже будет лежать в сечении и, поскольку прямая 
параллельна прямой BC, 
поэтому 
Обозначим эту длину за 
Тогда сечение — равнобедренная трапеция с основаниями 
и 
равно x, а расстояние от 
поэтому расстояние от MN до 
Далее, 
(крайние точки тоже можно брать, треугольник для 
рассматривается здесь как частный случай трапеции с нулевым основанием). Это выражение нужно минимизировать. Возьмем производную. Получим: 
б) 