PDF-версии: 
Задана функция
При каких действительных значениях параметра а уравнение
имеет на отрезке 
ровно два корня?
Решение. Ясно что 
(иначе не определен корень), 
(иначе не определен логарифм), 
(иначе не определен котангенс). Берем производную. Последние два слагаемых — просто константы и исчезают. Имеем:
На отрезке 
будем иметь:
Поэтому 
принимает там значения от 
до 
(при 
) и потом, убывая, принимает еще раз значения до 
(в точке 
и потом какие-то еще меньшие значения. Значит, ровно два раза одно значение он принимает, только если это значение попадает в промежуток 
Имеем:
Значит итоговый ответ 
Выколотая точка возникла из-за ограничений на котангенс, а 1 заменилась на 0 из-за условия 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |