РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 521196 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Прямая треугольная призма, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между плоскостями

Сложная стереометрия. Круглые тела

В прямой треугольной призме АВСА’B’C’, где $AB=6;$ $AC=7;$ $CB=5;$ $AA’=8,$ проведено сечение СМN параллельно ребру АВ, которое делит объем призмы пополам (точка М лежит на АА', N  — на ВВ’).

а)  Найти отношение АМ : МА’.

б)  Найти тангенс угла между плоскостями АВС и СMN.

Решение. а)  Объем призмы равен $AA_1 умножить на S_ABC.$ C другой стороны:

$V_CAMNB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_AMNB умножить на d левая круглая скобка C,AMNB правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на MA умножить на AB умножить на d левая круглая скобка C,AB правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби MA умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на d левая круглая скобка C,AB правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби MA умножить на S_ABC.$

Итак, нужно чтобы $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби MA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1,$ $MA= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AA_1,$ $AM:MA_1=3:1.$

б)  Имеем:

$S_ABC= корень из: начало аргумента: 9 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 конец аргумента =6 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента$

по формуле Герона, поэтому:

$d левая круглая скобка C,AB правая круглая скобка = дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: AB конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Проведем высоту CH треугольника $CAB.$ Построим перпендикуляр $HH_1$ к прямой $MN.$ Тогда прямая $CH_1$ перпендикулярна прямой AB по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол между плоскостями равен углу между $H_1C$ и HC  — они обе перпендикулярны AB, а прямая пересечения этих плоскостей параллельна $AB.$ Имеем:

$тангенс \angle H_1CH= дробь: числитель: HH_1, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AA_1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $3:1$ б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: а) $3:1$ б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

521196

а) $3:1$ б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521196	а) $3:1$ б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$