Заданы числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы:
а) в каждой группе сумма чисел делилась на 3.
б) в каждой группе сумма чисел делилась на 10.
в) сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?
а) Общая сумма чисел равна 
Это числе не кратно трем. Поскольку оно будет суммой всех сумм в группах, хоть одна из сумм в группах не будет кратна трем.
б) Да, например, так — в первой группе число 
во второй — число 
в третьей все остальные с суммой 
в) Пусть сумма в первой группе равна 
во второй 
в третьей 
Тогда:
Следовательно, 
кратно 
Но тогда 
поэтому одно из чисел y и z не меньше 
Тогда сумма в соответствующей группе не меньше 
или 
что невозможно.
Ответ: а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.