РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 521172 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 183

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Заданы числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Можно ли разбить эти числа на три группы так, чтобы:

а)  в каждой группе сумма чисел делилась на 3.

б)  в каждой группе сумма чисел делилась на 10.

в)  сумма чисел в одной группе делилась на 102, сумма чисел в другой группе делилась на 203, а сумма чисел в третьей группе делилась на 304?

Решение. а)  Общая сумма чисел равна $дробь: числитель: 100 умножить на 101, знаменатель: 2 конец дроби =5050.$ Это числе не кратно трем. Поскольку оно будет суммой всех сумм в группах, хоть одна из сумм в группах не будет кратна трем.

б)  Да, например, так  — в первой группе число $10,$ во второй  — число $20,$ в третьей все остальные с суммой $5050 минус 10 минус 20=5020.$

в)  Пусть сумма в первой группе равна $102x,$ во второй $203y,$ в третьей $304z.$ Тогда:

$102x плюс 203y плюс 304z=5050 равносильно 101 левая круглая скобка x плюс 2y плюс 3z правая круглая скобка плюс левая круглая скобка y плюс 2z правая круглая скобка =101 умножить на 50$

Следовательно, $y плюс 2z$ кратно $101.$ Но тогда $y плюс 2z больше или равно 101,$ поэтому одно из чисел y и z не меньше $34.$ Тогда сумма в соответствующей группе не меньше $203 умножить на 34 больше 6000$ или $304 умножить на 34 больше 9000,$ что невозможно.

Ответ: а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.

521172

а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 183

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521172	а) Нет, б) Да, пример: 1) {10;20} 2){100;90} 3) {все остальные}; в) Нет.