Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 521171
i

Опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a пе­ре­се­че­ние мно­жеств

левая круг­лая скоб­ка x минус a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 2a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 80и левая круг­лая скоб­ка x минус 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 4a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно 20a в квад­ра­те

пред­став­ля­ет собой круг.
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние пред­став­ля­ет собой круг ра­ди­у­са ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 80 конец ар­гу­мен­та с цен­тром в левая круг­лая скоб­ка a минус 1;2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . Вто­рое - круг ра­ди­у­са 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та |a| с цен­тром в левая круг­лая скоб­ка 2a минус 3; 4a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка (воз­мож­но вы­рож­да­ет­ся в точку, при a=0). Их пе­ре­се­че­ние круг в том слу­чае, когда один лежит внут­ри дру­го­го (или круги сов­па­да­ют). Для этого рас­сто­я­ние между их цен­тра­ми долж­но быть не боль­ше раз­но­сти их ра­ди­у­сов. За­пи­шем это:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a минус 1 минус 2a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 3 минус 4a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно \abs4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та \absa рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно \abs4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та \absa рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно \abs4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та \absa рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 2\abs2 минус \absa рав­но­силь­но \absa минус 2 мень­ше или равно 2\abs2 минус \absa.

При по­ло­жи­тель­ных a это сво­дит­ся к \absa минус 2 мень­ше или равно 2\absa минус 2, что верно. При нуле один из кру­гов точка. При от­ри­ца­тель­ных a рас­кро­ем внут­рен­ний мо­дуль и воз­ве­дем в квад­рат (обе части не­от­ри­ца­тель­ны, по­это­му так де­лать можно):

\absa минус 2 мень­ше или равно 2\abs2 плюс a рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус 4a плюс 4 мень­ше или равно 16 плюс 16a плюс 4a в квад­ра­те рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 3a в квад­ра­те плюс 20a плюс 12 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a\leqslant минус 6, минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше 0. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ:a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 6} пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; 0} пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность } пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 183
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025