Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 521107

Для  каждого  значения  параметра  а  найдите  точку  максимума  функции

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе левая круглая скобка 3x минус 8a правая круглая скобка плюс 6 левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x в квадрате .

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

 f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в степени 4 минус 8ax в кубе плюс левая круглая скобка 6a в квадрате минус 6 правая круглая скобка x в квадрате .

Возьмём производную:

f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =12x в кубе минус 24ax в квадрате плюс левая круглая скобка 12a в квадрате минус 12 правая круглая скобка x=12x левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка =12x левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка .

Итак, у функции есть три подозрительные на экстремум точки:  x=0,  x=a плюс 1,  x=a минус 1. Разберем случаи их расположения на прямой.

Если все эти точки различны, то производная отрицательно до первой из них и между второй и третьей и положительна в остальных местах. Значит, точка максимума — средняя из трех. При  a больше 1 это точка  a минус 1, при  a принадлежит левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка это точка 0, при  a меньше минус 1 это точка  a плюс 1.

Если же среди них есть одинаковые, то  a=\pm 1. При  a=1 производная неположительна при  x меньше или равно 2 и положительна при  x больше 2, поэтому точки максимума нет.

При  a= минус 1 производная неположительна при  x меньше или равно минус 2 и неотрицательна при  x больше или равно минус 2, поэтому точки максимума нет.

 

Ответ: При  a больше 1 это точка  a минус 1; при  a принадлежит левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка это точка 0; при  a меньше минус 1 это точка  a плюс 1. При  a=\pm 1 точки максимума нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром