Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 521107
i

Для  каж­до­го  зна­че­ния  па­ра­мет­ра  а  най­ди­те  точку  мак­си­му­ма  функ­ции

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = x в кубе левая круг­лая скоб­ка 3x минус 8a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в сте­пе­ни 4 минус 8ax в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка 6a в квад­ра­те минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те .

Возьмём про­из­вод­ную:

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =12x в кубе минус 24ax в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 12a в квад­ра­те минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка x=12x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2ax плюс a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =12x левая круг­лая скоб­ка x минус a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Итак, у функ­ции есть три по­до­зри­тель­ные на экс­тре­мум точки: x=0, x=a плюс 1, x=a минус 1. Раз­бе­рем слу­чаи их рас­по­ло­же­ния на пря­мой.

Если все эти точки раз­лич­ны, то про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­но до пер­вой из них и между вто­рой и тре­тьей и по­ло­жи­тель­на в осталь­ных ме­стах. Зна­чит, точка мак­си­му­ма  — сред­няя из трех. При a боль­ше 1 это точка a минус 1, при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка это точка 0, при a мень­ше минус 1 это точка a плюс 1.

Если же среди них есть оди­на­ко­вые, то a=\pm 1. При a=1 про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на при x мень­ше или равно 2 и по­ло­жи­тель­на при x боль­ше 2, по­это­му точки мак­си­му­ма нет.

При a= минус 1 про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на при x мень­ше или равно минус 2 и не­от­ри­ца­тель­на при x боль­ше или равно минус 2, по­это­му точки мак­си­му­ма нет.

 

Ответ: При a боль­ше 1 это точка a минус 1; при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка это точка 0; при a мень­ше минус 1 это точка a плюс 1. При a=\pm 1 точки мак­си­му­ма нет.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 176
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025