РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 521107 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Сложные задачи с параметром. Неравенства с параметром

Для каждого значения параметра а найдите точку максимума функции

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе левая круглая скобка 3x минус 8a правая круглая скобка плюс 6 левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x в квадрате .$

Решение. Имеем:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в степени 4 минус 8ax в кубе плюс левая круглая скобка 6a в квадрате минус 6 правая круглая скобка x в квадрате .$

Возьмём производную:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =12x в кубе минус 24ax в квадрате плюс левая круглая скобка 12a в квадрате минус 12 правая круглая скобка x=12x левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка =12x левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка .$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =12x в кубе минус 24ax в квадрате плюс левая круглая скобка 12a в квадрате минус 12 правая круглая скобка x=$
$=12x левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка =12x левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка .$

Итак, у функции есть три подозрительные на экстремум точки: $x=0,$ $x=a плюс 1,$ $x=a минус 1.$ Разберем случаи их расположения на прямой.

Если все эти точки различны, то производная отрицательно до первой из них и между второй и третьей и положительна в остальных местах. Значит, точка максимума  — средняя из трех. При $a больше 1$ это точка $a минус 1,$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка$ это точка 0, при $a меньше минус 1$ это точка $a плюс 1.$

Если же среди них есть одинаковые, то $a=\pm 1.$ При $a=1$ производная неположительна при $x меньше или равно 2$ и положительна при $x больше 2,$ поэтому точки максимума нет.

При $a= минус 1$ производная неположительна при $x меньше или равно минус 2$ и неотрицательна при $x больше или равно минус 2,$ поэтому точки максимума нет.

Ответ: При $a больше 1$ это точка $a минус 1;$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка$ это точка 0; при $a меньше минус 1$ это точка $a плюс 1.$ При $a=\pm 1$ точки максимума нет.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

521107

При $a больше 1$ это точка $a минус 1;$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка$ это точка 0; при $a меньше минус 1$ это точка $a плюс 1.$ При $a=\pm 1$ точки максимума нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521107	При $a больше 1$ это точка $a минус 1;$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус 1; 1 правая круглая скобка$ это точка 0; при $a меньше минус 1$ это точка $a плюс 1.$ При $a=\pm 1$ точки максимума нет.