РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 521105 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники

Сложная планиметрия. Треугольники

Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается основания АС в точке М. Вторая окружность касается основания АС и продолжений боковых сторон.

а)  Докажите, что длина основания треугольника является средним геометрическим диаметров первой и второй окружностей.

б)  Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 3, а $BM=8.$

Решение. а)  Обозначим: $AC=2a,$ $AB=BC=b,$ тогда $AM=a.$ Радиус вписанной окружности равен $r= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби ,$ а вневписанной $r_AC= дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC минус AC конец дроби .$ Тогда:

$2r умножить на 2r_AC= дробь: числитель: 4S в квадрате _ABC, знаменатель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка левая круглая скобка b минус a конец дроби = дробь: числитель: 4S в квадрате _ABC, знаменатель: b в квадрате минус a в квадрате конец дроби = дробь: числитель: AC в квадрате умножить на BM в квадрате , знаменатель: BM в квадрате конец дроби =AC в квадрате ,$

что и требовалось доказать.

б)  В обозначениях предыдущего пункта имеем: $b в квадрате минус a в квадрате =64$ и $3= дробь: числитель: 8a, знаменатель: a плюс b конец дроби .$

Из второго уравнения: $3b=5a,$ $b= дробь: числитель: 5a, знаменатель: 3 конец дроби .$ Подставляя в первое, получаем: $дробь: числитель: 25a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби минус a в квадрате =64,$ $a=6,$ $b=10.$ Тогда:

$r_AC= дробь: числитель: BM умножить на AM, знаменатель: AB плюс AM минус AC конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 4 конец дроби =12.$

Ответ: б) 12.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 12.

521105

б) 12.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 176

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521105	б) 12.