Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
Первое уравнение можно переписать в виде 
Поэтому оно задает четыре дуги окружностей радиуса 
с центрами в точках 
(дуги, а не окружности целиком, потому что нужно следить за знаками при раскрытии модулей). Все эти окружности проходят через начало координат, поэтому точка 
тоже принадлежит фигуре. Второе уравнение дает 
Это прямая, проходящая через точку 
Сама точка при этом выколота.
Ясно, что пересечь больше двух дуг она не может (например из дуг во второй, третьей и четвертой четвертях она пересекает не более одной, если не учитывать общие концы дуг). Поэтому либо она проходит через общий конец двух дуг и обе их пересекает, либо пересекает одну дугу и касается другой, либо пересекает одну дугу и пересекает вторую лишь один раз. Заметим также, что если заменить 
на 
и поменять местами 
и 
то число решений системы не изменится. Поэтому можно ограничиться случаем 
Кроме того, при 
пересечений очевидно нет. Итак, 
Она проходит через точки 
и 
при равных, соответственно, 
и 
Она касается дуги в первой четверти, если расстояние от точки 
до прямой равно 
Решим уравнение
(вторая касательная даст 
).
Она касается дуги во второй четверти, если расстояние от точки 
до прямой равно Решим уравнение
(второй касательной нет, она касается ненарисованной части окружности). Поскольку
то при прокручивании прямой вокруг нашей точки от горизонтального состояния прямая сначала коснется второй дуги, потом первой дуги (и будет три решения, а до этого два), потом пройдет через точку (и будет три решения, а до этого четыре), а потом через точку и будет два решения (и до этого тоже 2). Затем она будет до 
пересекать первую и третью дуги по одному разу. Наконец при добавится еще одна точка — начало координат.
Ответ: 
(в ответ добавлены числа вида для уже полученных ответов).