Ре­ше­ние. Пер­вое урав­не­ние можно пе­ре­пи­сать в виде По­это­му оно за­да­ет че­ты­ре дуги окруж­но­стей ра­ди­у­са с цен­тра­ми в точ­ках (дуги, а не окруж­но­сти це­ли­ком, по­то­му что нужно сле­дить за зна­ка­ми при рас­кры­тии мо­ду­лей). Все эти окруж­но­сти про­хо­дят через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, по­это­му точка тоже при­над­ле­жит фи­гу­ре. Вто­рое урав­не­ние дает Это пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Сама точка при этом вы­ко­ло­та.

Ясно, что пе­ре­сечь боль­ше двух дуг она не может (на­при­мер из дуг во вто­рой, тре­тьей и чет­вер­той чет­вер­тях она пе­ре­се­ка­ет не более одной, если не учи­ты­вать общие концы дуг). По­это­му либо она про­хо­дит через общий конец двух дуг и обе их пе­ре­се­ка­ет, либо пе­ре­се­ка­ет одну дугу и ка­са­ет­ся дру­гой, либо пе­ре­се­ка­ет одну дугу и пе­ре­се­ка­ет вто­рую лишь один раз. За­ме­тим также, что если за­ме­нить на и по­ме­нять ме­ста­ми и то число ре­ше­ний си­сте­мы не из­ме­нит­ся. По­это­му можно огра­ни­чить­ся слу­ча­ем Кроме того, при пе­ре­се­че­ний оче­вид­но нет. Итак,

Она про­хо­дит через точки и при рав­ных, со­от­вет­ствен­но, и Она ка­са­ет­ся дуги в пер­вой чет­вер­ти, если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой равно Решим урав­не­ние

Она ка­са­ет­ся дуги во вто­рой чет­вер­ти, если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой равно Решим урав­не­ние

(вто­рой ка­са­тель­ной нет, она ка­са­ет­ся не­на­ри­со­ван­ной части окруж­но­сти). По­сколь­ку

то при про­кру­чи­ва­нии пря­мой во­круг нашей точки от го­ри­зон­таль­но­го со­сто­я­ния пря­мая сна­ча­ла кос­нет­ся вто­рой дуги, потом пер­вой дуги (и будет три ре­ше­ния, а до этого два), потом прой­дет через точку (и будет три ре­ше­ния, а до этого че­ты­ре), а потом через точку и будет два ре­ше­ния (и до этого тоже 2). Затем она будет до пе­ре­се­кать первую и тре­тью дуги по од­но­му разу. На­ко­нец при до­ба­вит­ся еще одна точка  — на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

Ответ: (в ответ до­бав­ле­ны числа вида для уже по­лу­чен­ных от­ве­тов).