РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 521072 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 172

Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Конус, Площадь поверхности, Цилиндр

Сложная стереометрия. Круглые тела

Цилиндр и конус имеют общее основание, вершина конуса является центром другого основания цилиндра. Каждая образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°.

а)  Докажите, что площади боковых поверхностей цилиндра и конуса равны

б)  Найдите радиус сферы, касающейся боковых поверхностей цилиндра и конуса, а так

же одного из оснований цилиндра, если известно, что объем конуса равен $левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 10 правая круглая скобка умножить на Пи$

Решение. а)  Пусть радиус основания цилиндра равен $r,$ а высота $h.$ Тогда тангенс угла наклона образующей есть $дробь: числитель: h, знаменатель: r конец дроби ,$ откуда $r= корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента h$ и образующая конуса равна $корень из: начало аргумента: h в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента =2h.$ Вычислим теперь площади боковой поверхности цилиндра и конуса. Это $2 Пи rh=2 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента h в квадрате$ и $Пи r l= Пи r умножить на 2h=2 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента h в квадрате ,$ что и требовалось доказать.

б)  Рассмотрим сечение цилиндра и конуса осевой плоскость, проходящей через центр сферы. Все точки касания будут лежать в этой плоскости. В сечении получим окружность, вписанную в прямоугольный треугольник со сторонами h, $h корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ $2h,$ поэтому ее радиус равен

$дробь: числитель: h плюс h корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 2h, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: h левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

C другой стороны, как мы знаем,

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h= Пи h в кубе = Пи левая круглая скобка 10 плюс 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка ,$

откуда $h= корень 3 степени из: начало аргумента: 10 плюс 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец аргумента =1 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ поэтому искомый радиус равен 1.

Ответ: б) 1.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: б) 1.

521072

б) 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 172

Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Конус, Площадь поверхности, Цилиндр

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521072	б) 1.