PDF-версии: 
Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Из второго уравнения следует, что 
Рассмотрим два случая, подставив значение y в первое уравнение системы.
1) Если 
имеем:
Если 
то 
Если 
имеем квадратное уравнение относительно x. Требуем положительности его дискриминанта для поолучения 2 различных корней:
2) Если 
имеем:
Если то 
Если имеем квадратное уравнение относительно x. Требуем положительности его дискриминанта для поолучения 2 различных корней:
Также важно проверить, чтобы корни уравнений из первого и второго случая не совпадали:
Тогда 
Пересекая полученные открытые лучи из первого и второго случая получаем итоговый ответ:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек    и/или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений aИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка  и  , возможно, с включением граничных точекИЛИ задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |