РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 520661 Добавить в вариант

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг треугольника, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Планиметрическая задача. Описанные окружности и четырехугольники

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC₁ перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD₁ перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а)  Пусть AA₁ также диаметр окружности. Докажите, что $\angle DNM=\angle BA_1D_1.$

б)  Найдите углы четырехугольника ABCD, если CDB вдвое меньше угла ADB.

Решение. а)  Точка B лежит на окружности с диаметром AA₁, поэтому прямая A₁B перпендикулярна прямой AB, а поскольку прямая DD₁ перпендикулярна прямой AB, прямая A₁B параллельна прямой DD₁, поэтому $\angle BA_1D_1=\angle A_1D_1D$ как накрест лежащие.

Вписанные углы A₁D₁D и A₁AD опираются на одну и ту же дугу, значит, $\angle BA_1 D_1=\angle A_1D_1D=\angle A_1AD.$

Пусть O  — центр окружности. Из точек M и N отрезок OA виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OA. Вписанные в эту окружность углы MAO и MNO опираются на одну и ту же дугу, поэтому $\angle DNM=\angle MNO=\angle OAM=\angle A_1AD.$ Следовательно, $\angle DNM=\angle BA_1D_1.$

б)  Поскольку диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, треугольники ACD и ABD равнобедренные (их высота являются медианами). Положим, $\angle CDB= альфа , \angle ADB=2 альфа .$ Тогда

$\angle BAD=\angle ABD=\angle ACD=180 градусов минус 2\angle ADC=180 градусов минус 6 альфа .$

С другой стороны, $\angle BAD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle ADB правая круглая скобка =90 градусов минус альфа ,$ из равенства $180 градусов минус 6 альфа =90 градусов минус альфа$ находим, что $альфа =18 градусов.$ Следовательно, $\angle ADC=3 альфа =54 градусов, \angle ABC=180 градусов минус \angle ADC=126 градусов, \angle BAD=$
$=90 градусов минус альфа =72 градусов, \angle BCD=180 градусов минус \angle BAD =108 градусов.$

Ответ: б) 72°, 126°, 108°, 54°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 72°, 126°, 108°, 54°.

520661

б) 72°, 126°, 108°, 54°.

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520661	б) 72°, 126°, 108°, 54°.