Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку число  лежит в от­рез­ке длина ко­то­ро­го равна Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от до ка­ко­го-то из кон­цов от­рез­ка не боль­ше по­ло­ви­ны его длины. По­это­му числа m и n суть числа 28 и 20 или числа 71 и 50 со­от­вет­ствен­но. Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа су­ще­ству­ют.

б)  До­ка­жем, что таких m и n не су­ще­ству­ет. До­ка­за­тель­ство про­ведём от про­тив­но­го. Пусть су­ще­ству­ют дву­знач­ные числа m и n, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство Тогда

По усло­вию по­это­му из по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, Про­ти­во­ре­чие.

в)  С уве­ли­че­ни­ем n зна­че­ние вы­ра­же­ния умень­ша­ет­ся. По­сколь­ку при зна­че­ние вы­ра­же­ния боль­ше при   — мень­ше и зна­че­ние равно рас­сто­я­нию от до наи­мень­шее зна­че­ние это вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет при или

При по­лу­ча­ем:

а при по­лу­ча­ем

Срав­ни­вая эти зна­че­ния, видим, что наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет при

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  24.

При­ме­ча­ние к пунк­ту а).

Выше было по­лу­че­но, что удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию числа су­ще­ству­ют. Ис­кать их не тре­бо­ва­лось, но можно и найти. Для этого за­ме­тим, что лежит пра­вее точки 1,41  — се­ре­ди­ны от­рез­ка По­это­му Сле­до­ва­тель­но, при­ме­ром яв­ля­ют­ся числа 71 и 50.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та а).

За­ме­тим, что не­ра­вен­ство рав­но­силь­но двой­но­му не­ра­вен­ству

При этом

а зна­чит, из не­ра­вен­ства

сле­ду­ет, что Пусть, на­при­мер, тогда Сле­до­ва­тель­но, дву­знач­ные числа и удо­вле­тво­ря­ют ис­ход­но­му не­ра­вен­ству.

При­ве­дем ре­ше­ние Ев­ге­ния Обу­хо­ва (Москва).

а)  Тре­бу­ет­ся найти хо­ро­шее при­бли­же­ние числа ра­ци­о­наль­ной дро­бью, зна­ме­на­тель и чис­ли­тель ко­то­рой  — дву­знач­ные числа. Ис­кать его сле­ду­ет среди под­хо­дя­щих дро­бей. За­ме­тим, что пред­став­ле­ние числа в виде бес­ко­неч­ной цеп­ной дроби есть

Зна­ме­на­тель и чис­ли­тель дроби яв­ля­ют­ся дву­знач­ны­ми чис­ла­ми, если

Та­ко­го при­бли­же­ния хва­тит ввиду след­ствия из тео­ре­мы Ди­ри­х­ле о при­бли­же­ни­ях (под­хо­дя­щие дроби «хо­ро­шо при­бли­жа­ют»:

б)  Пред­по­ло­жим, что такие m и n су­ще­ству­ют. Тогда с по­мо­щью фор­му­лы раз­но­сти квад­ра­тов пре­об­ра­зу­ем дан­ное в усло­вии не­ра­вен­ство в при­выч­ный нам вид:

то есть дробь обя­за­на быть очень близ­кой к по­это­му оцен­ку можно улуч­шить вдвое:

Здесь было учте­но, что По­след­нее не­ра­вен­ство озна­ча­ет, что дробь   — под­хо­дя­щая дробь числа по тео­ре­ме о том, что из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что не­со­кра­ти­мая дробь яв­ля­ет­ся под­хо­дя­щей дро­бью числа α. Под­хо­дя­щая дробь с боль­шим но­ме­ром при­бли­жа­ет лучше, чем под­хо­дя­щая дробь с мень­шим но­ме­ром, по­это­му в нашем слу­чае (чис­ли­тель и зна­ме­на­тель  — дву­знач­ные числа) лучше всего при­бли­жа­ет дробь:

Оста­лось убе­дить­ся, что не­ра­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся, что при­во­дит к про­ти­во­ре­чию. При­бли­зим более хо­ро­шей под­хо­дя­щей дро­бью. Ска­жем, дроби хва­тит, по­сколь­ку

Раз­де­лив в стол­бик, по­лу­чим:

то есть до­воль­но зна­чи­мое раз­ли­чие на пятом знаке после за­пя­той: Из не­ра­вен­ства тре­уголь­ни­ка:

что и тре­бо­ва­лось для по­лу­че­ния про­ти­во­ре­чия.

в)  Тре­бу­ет­ся ми­ни­ми­зи­ро­вать вы­ра­же­ние Вновь рас­смот­рим раз­ло­же­ние при­бли­жа­е­мо­го числа в цеп­ную дробь:

За­ме­тим, что уже одна из пер­вых дро­бей нам под­хо­дит:

Имеем это как раз нуж­ный нам чис­ли­тель. За­ме­тим, что

то есть дробь на­хо­дит­ся весь­ма близ­ко к числу Остав­ши­е­ся наи­бо­лее близ­кие дроби с чис­ли­те­лем 10  — и   — на­хо­дят­ся от числа даль­ше. В част­но­сти, это можно про­ве­рить не­по­сред­ствен­но: и по­сколь­ку то дробь вы­па­дет из окрест­но­сти в ко­то­рой дробь в свою оче­редь, на­хо­дит­ся. Ана­ло­гич­но с дро­бью со­от­вет­ству­ю­щая раз­ность ещё боль­ше.