Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 519643

Решите неравенство (\log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x) в квадрате плюс 36 логарифм по основанию (2) x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x.

Спрятать решение

Решение.

Перенесем выражение из правой части в левую и сгруппируем:

(\log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x) в квадрате плюс 36 логарифм по основанию (2) x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно (\log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x) в квадрате минус 18( логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию (2) x) плюс 45 меньше 0.

Пусть t= логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию (2) x, тогда:

t в квадрате минус 18t плюс 45 меньше 0 равносильно (t минус 3)(t минус 15) меньше 0 равносильно 3 меньше t меньше 15.

Вернемся к исходной переменной:

 система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию (2) x больше 3, логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию (2) x меньше 15 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 больше 0, логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 15 меньше 0. конец системы .

Пусть y= логарифм по основанию 2 x, тогда:

 совокупность выражений y в квадрате минус 2y минус 3 больше 0,y в квадрате минус 2y минус 15 меньше 0 конец совокупности . равносильно система выражений совокупность выражений y меньше минус 1,y больше 3, конец системы . минус 3 меньше y меньше 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 3 меньше y меньше минус 1,3 меньше y меньше 5. конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной:

 совокупность выражений минус 3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 5 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,8 меньше x меньше 32. конец совокупности .

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup (8;32).

 

Примечание.

Из неравенства (t минус 3)(t минус 15) меньше 0 можно было бы перейти к неравенству

( логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию (2) x минус 3)( логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию (2) x минус 15) меньше 0,

откуда имеем:

( логарифм по основанию 2 x минус 5)( логарифм по основанию 2 x плюс 3)( логарифм по основанию 2 x минус 3)( логарифм по основанию 2 x плюс 1) меньше 0.

 

Изобразим решения полученного неравенство относительно логарифма:

Далее как ранее.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 514371: 519643 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018.
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов