СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 518959

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 6, а сторона основания равна 4. На продолжении ребра SA за точку A отмечена точка P, а на продолжении ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) Докажите, что прямые PQ и SC перпендикулярны друг другу.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и CPQ.

Решение.

а) Пусть — середина ребра , — середина отрезка . В равнобедренных треугольниках и медианы и являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки , и лежат на одной прямой. Треугольник равнобедренный, так как треугольники и равны, а значит, = . В треугольниках и высотами служат отрезки и соответственно. Из того, что отрезок перпендикулярен отрезку и отрезку следует, что прямая перпендикулярна плоскости , но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые и перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость перпендикулярна плоскостям и , а потому искомый.

Найдём стороны треугольника .

Ясно, что и

В треугольнике имеем:

 

 

Из треугольника по теореме косинусов находим

 

 

Следовательно,

Из треугольника по теореме косинусов находим

Ответ:


Аналоги к заданию № 518912: 518959 Все