СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 518959

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC бо­ко­вое ребро равно 6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4. На про­дол­же­нии ребра SA за точку A от­ме­че­на точка P, а на про­дол­же­нии ребра SB за точку B — точка Q, причём AP = BQ = SA.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые PQ и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и CPQ.

Решение.

а) Пусть — середина ребра , — середина отрезка . В равнобедренных треугольниках и медианы и являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки , и лежат на одной прямой. Треугольник равнобедренный, так как треугольники и равны, а значит, = . В треугольниках и высотами служат отрезки и соответственно. Из того, что отрезок перпендикулярен отрезку и отрезку следует, что прямая перпендикулярна плоскости , но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые и перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость перпендикулярна плоскостям и , а потому искомый.

Найдём стороны треугольника .

Ясно, что и

В треугольнике имеем:

 

 

Из треугольника по теореме косинусов находим

 

 

Следовательно,

Из треугольника по теореме косинусов находим

Ответ:


Аналоги к заданию № 518912: 518959 Все